ix
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
1
Nonlinear PDEs are Everywhere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2
Compatibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Charpit’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Second-Order PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Compatibility in .2 C 1/ Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Compatibility for Systems of PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
Differential Substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1 Generalized Burgers’ Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 KdV-MKdV Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Generalized KdV Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Matrix Hopf–Cole Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Darboux Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.1 Second-Order Darboux Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.2 Darboux Transformations Between Two Diffusion Equations . . . . . . . 65
3.5.3 Darboux Transformations Between Two Wave Equations . . . . . . . . . . 67
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4
Point and Contact Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1 Contact Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 Hodograph Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.2 Legendre Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
x
4.1.3 Ampere Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2 Contact Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Plateau Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.1 Linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.2 Well-known Minimal Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5
First Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1 Quasilinear Second-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Monge–Ampere Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 e Martin Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 First Integrals and Linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.1 Hyperbolic MA Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.2 Parabolic MA Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.3 Elliptic MA Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6
Functional Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Author’s Biography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
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