ix
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
1
Advanced Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Implicit Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Higher-order Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 e Gradient and Directional Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Tangent Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
Multivariate and Constrained Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Optimization with Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 e Extreme Value eorem Redux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3
Advanced Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1 Volumes of Rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Arc Length and Surface Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 Multiple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.1 Mass and Center of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4
Sequences, Series, and Function Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1 Sequences and the Geometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 Series Convergence Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.1 Tails of Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3 Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.3.1 Using Calculus to Find Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.4 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4.1 Taylor Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
x
A
Useful Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.1 Powers, Logs, and Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.2 Trigonometric Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.3 Speed of Function Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.4 Derivative Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A.5 Sums and Factorization Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A.5.1 Geometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A.6 Vector Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.7 Polar and Rectangular Conversion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.8 Integral Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.9 Series Convergence Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.10 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Author’s Biography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
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