ix
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
1
Review of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Solving Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Computing Slopes, Finding Lines from Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Parallel and Orthogonal Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Factoring a Quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Completing the Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 e Quadratic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1 Domain and Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2
e Library of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Powers, Logs, and Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1 Powers and Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2 Exponentials and Logs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.1 Graphs of the Basic Trig Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.2 eorems about Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.3 e Sum, Difference, and Double and Half-angle Identities . . . . . . . 68
2.3.4 Euler’s Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3
Limits, Derivatives, Rules, and the Meaning of the Derivative . . . . . . . . . . . . . 75
3.1 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.1 Split-rule Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.1 Derivatives of Sums and Constant Multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
x
3.3 Derivatives of the Library of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3.1 Logs and Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.2 e Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.3 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4 e Product, Quotient, Reciprocal, and Chain Rules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.1 Functional Composition and the Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5 Physical Interpretation of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.5.1 Implicit Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.5.2 Logarithmic Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4
Curve Sketching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1 Limits at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2 Information from the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.1 Increasing and Decreasing Ranges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.2 Concavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.3 e Full Report for Curve Sketching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5
Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.1 Optimization with Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.1.1 Optimization Story Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6
Limits and Continuity: e Details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.1 Limits and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.2 e Squeeze eorem and the Mean Value eorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
A
Useful Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A.1 Powers, Logs, and Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A.2 Trigonometric Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A.3 Speed of Function Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
A.4 Derivative Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Author’s Biography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
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