Section 10.4

1. $\frac{1}{2} t^{2}$ $\frac{1}{2} t^{2}$
2. $(e^{a t} - a t - 1) / a^{2}$ $(e^{a t} - a t - 1) / a^{2}$
3. $\frac{1}{2} (\sin t - t \cos t)$ $\frac{1}{2} (\sin t - t \cos t)$
4. $2 (t - \sin t)$ $2 (t - \sin t)$
5. $t e^{a t}$ $t e^{a t}$
6. $(e^{a t} - e^{b t}) / (a - b)$ $(e^{a t} - e^{b t}) / (a - b)$
7. $\frac{1}{3} (e^{3 t} - 1)$ $\frac{1}{3} (e^{3 t} - 1)$
8. $\frac{1}{4} (1 - \cos 2 t)$ $\frac{1}{4} (1 - \cos 2 t)$
9. $\frac{1}{54} (\sin 3 t - 3 t \cos 3 t)$ $\frac{1}{54} (\sin 3 t - 3 t \cos 3 t)$
10. $(k t - \sin k t) / k^{3}$ $(k t - \sin k t) / k^{3}$
11. $\frac{1}{4} (\sin 2 t + 2 t \cos 2 t)$ $\frac{1}{4} (\sin 2 t + 2 t \cos 2 t)$
12. $\frac{1}{5} [1 - e^{- 2 t} (\cos t + 2 \sin t)]$ $\frac{1}{5} [1 - e^{- 2 t} (\cos t + 2 \sin t)]$
13. $\frac{1}{10} (3 e^{3 t} - 3 \cos t + \sin t)$ $\frac{1}{10} (3 e^{3 t} - 3 \cos t + \sin t)$
14. $\frac{1}{3} (\cos t - \cos 2 t)$ $\frac{1}{3} (\cos t - \cos 2 t)$
15. $6 s / {(s^{2} + 9)}^{2}, s > 0$ $6 s / {(s^{2} + 9)}^{2}, s > 0$
16. $(2 s^{3} - 24 s) / {(s^{2} + 4)}^{3}, s > 0$ $(2 s^{3} - 24 s) / {(s^{2} + 4)}^{3}, s > 0$
17. $(s^{2} - 4 s - 5) / {(s^{2} - 4 s + 13)}^{2}, s > 0$ $(s^{2} - 4 s - 5) / {(s^{2} - 4 s + 13)}^{2}, s > 0$
18. $\frac{2 (3 s^{2} + 6 s + 7)}{{(s + 1)}^{2} {(s^{2} + 2 s + 5)}^{2}}, s > 0$ $\frac{2 (3 s^{2} + 6 s + 7)}{{(s + 1)}^{2} {(s^{2} + 2 s + 5)}^{2}}, s > 0$
19. $\frac{1}{2} π - \arctan s = \arctan (1 / s), s > 0$ $\frac{1}{2} π - \arctan s = \arctan (1 / s), s > 0$
20. $\frac{1}{2} \ln (s^{2} + 4) - \ln s, s > 0$ $\frac{1}{2} \ln (s^{2} + 4) - \ln s, s > 0$
21. $\ln s - \ln (s - 3), s > 3$ $\ln s - \ln (s - 3), s > 3$
22. $\ln (s + 1) - \ln (s - 1), s > 1$ $\ln (s + 1) - \ln (s - 1), s > 1$
23. $- (2 \sinh 2 t) / t$ $- (2 \sinh 2 t) / t$
24. $2 (\cos 2 t - \cos t) / t$ $2 (\cos 2 t - \cos t) / t$
25. $e^{- 2 t} + e^{3 t} - 2 \cos t) / t$ $e^{- 2 t} + e^{3 t} - 2 \cos t) / t$
26. $(e^{- 2 t} \sin 3 t) / t$ $(e^{- 2 t} \sin 3 t) / t$
27. $2 (1 - \cos t) / t$ $2 (1 - \cos t) / t$
28. $\frac{1}{8} (t \sin t - t^{2} \cos t)$ $\frac{1}{8} (t \sin t - t^{2} \cos t)$
29. $(s + 1) X ′ (s) + 4 X (s) = 0$ $(s + 1) X ′ (s) + 4 X (s) = 0$ ; $x (t) = C t^{3} e^{- t}, C \neq 0$ $x (t) = C t^{3} e^{- t}, C \neq 0$
30. $X (s) = A / {(s + 3)}^{3}$ $X (s) = A / {(s + 3)}^{3}$ ; $x (t) = C t^{2} e^{- 3 t}, C \neq 0$ $x (t) = C t^{2} e^{- 3 t}, C \neq 0$
31. $(s - 2) X ′ (s) + 3 X (s) = 0$ $(s - 2) X ′ (s) + 3 X (s) = 0$ ; $x (t) = C t^{2} e^{2 t}, C \neq 0$ $x (t) = C t^{2} e^{2 t}, C \neq 0$
32. $(s^{2} + 2 s) X ′ (s) + (4 s + 4) X (s) = 0$ $(s^{2} + 2 s) X ′ (s) + (4 s + 4) X (s) = 0$ ; $x (t) = C (1 - t - e^{- 2 t} - t e^{- 2 t}), C \neq 0$ $x (t) = C (1 - t - e^{- 2 t} - t e^{- 2 t}), C \neq 0$
33. $(s^{2} + 1) X ′ (s) + 4 s X (s) = 0$ $(s^{2} + 1) X ′ (s) + 4 s X (s) = 0$ ; $x (t) = C (\sin t - t \cos t), C \neq 0$ $x (t) = C (\sin t - t \cos t), C \neq 0$
34. $x (t) = C e^{- 2 t} (\sin 3 t - 3 t \cos 3 t), C \neq 0$ $x (t) = C e^{- 2 t} (\sin 3 t - 3 t \cos 3 t), C \neq 0$

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